אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006
תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 18 בנובמבר 2007 עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ http://wwwlimsoupnet לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmxnet סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 7 2006 אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים 1 8 2007
תוכן עניינים 5 דטרמיננטות 1 5 מטריצות הפיכות 11 6 הדטרמיננטה 12 10 חישוב דטרמיננטות 13 12 חוק קרמר 14 12 המטריצה המצורפת 15 14 לכסון מטריצות 2 14 מוטיבציה 21 14 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 22 17 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 23 21 תנאים ללכסינות 24 24 מרחבי מכפלה פנימית 3 24 מכפלה סקאלארית 31 24 מכפלה הרמיטית 32 25 מכפלה פנימית 33 27 מערכות אורתונורמליות 34 28 אי שוויון בסל 35 29 אורתוגונליזציית גראם שמידט 36 30 שוויון פרסבל 37 30 תת מרחב ניצב 38 31 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 39 40 פונקציונלים לינאריים 4 41 המרחב הדואלי 41 42 מאפסים 42 3
1 דטרמיננטות 1 דטרמיננטות 11 מטריצות הפיכות 2622007 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה T : V V F, טרנספורמציה לינארית T היא הפיכה אם קיימת טרנספורמציה לינארית S : V V כך ש- I I T S = ST = היא טרנספורמציית הזהות הטרנספורמציה S, שנקראת הטרנספורמציה ההופכית ל- T, היא יחידה מסמנים 1 T S = T מימין ל- הופכית אומרים ש- S T; S = כך ש- I S נקראת הפיכה מימין אם קיימת T באופן דומה, T נקראת הפיכה משמאל אם קיימת S כך ש- I,ST = ואז S הופכית משמאל ל- T יחידות המטריצות ההופכיות מימין ומשמאל לא מתחייבת כמובן, T הפיכה אם ורק אם היא הפיכה גם מימין וגם משמאל אם V מרחב בעל מימד סופי n ו- T : V V טרנספורמציה לינארית, אז א T הפיכה אם ורק אם הדרגה של T היא n; ב T הפיכה מימין אם ורק אם היא הפיכה משמאל אם ורק אם היא הפיכה; ג T חח"ע אם ורק אם T על נראה שאם הט"ל T : V V הפיכה מימין אז היא גם הפיכה משמאל (ולכן הפיכה, ולהיפך נניח ש- T הפיכה מימין; אז יש S כך ש- I T S = נבחר בסיס n (v 1,, v אז T Sv i = v i מטריצה רגולרית Sv 1,, Sv n בת"ל 1 לכן Sv 1,, Sv n בסיס ל- V קיבלנו ש- T מעבירה בסיס מסויים לבסיס; לכן T חח"ע ועל, ולכן הפיכה לכן היא בפרט הפיכה משמאל בנוסף, ההופכי מימין שווה להופכי משמאל: נניח S T = I,T S = I נקבל = S (S T S (T S = S = S ומאסוציאטיביות,IS = S נניח ש- V מרחב n -מימדי, ויהי n B = (v 1,, v בסיס נתאים לכל ט"ל T : V V את המטריצה המייצגת אותה לפי הבסיס B התאמה זו היא איזומורפיזם ממרחב הט"ל על מרחב המטריצות, השומר גם על הכפל לכן T הפיכה אם ורק אם המטריצה A המתאימה לה הפיכה בגלל האיזומורפיזם השומר על הכפל, כל מטריצה F A M n n הפיכה מימין אם"ם היא הפיכה משמאל אם"ם היא הפיכה, ואז יש לה מטריצה הופכית יחידה 1 A, שהיא גם המטריצה ההופכית היחידה מימין ומשמאל למדנו ש- A הפיכה אם"ם דרגתה היא n; אז A נקראת מטריצה רגולרית 2 אם נתונה מטריצה רגולרית A, איך נמצא את 1 A? בעזרת פעולות אלמנטריות על שורות A, אפשר להגיע מ- A ל- I נמיר את הפעולות האלמנטריות בכפל במטריצות אלמנטריות לכן קיימת סדרת מטריצות אלמנטריות E 1,, E k כך ש- I,E k E 1 A = ואז 1 A E k E 1 = כלומר, אם על-ידי פעולות אלמנטריות על A מקבלים את I, על-ידי אותן פעולות אלמנטריות על I באותו סדר מקבלים את 1 A 1 אילו היו תלויים, גם T Sv 1,, T Sv n היו תלויים כל ט"ל מעבירה ת"ל לת"ל אבל אלה,v 1,, v n שאינם תלויים 2 מטריצה שאינה רגולרית נקראת סינגולרית 5
1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה 12 הדטרמיננטה 121 מוטיבציה: המקרה 2 2 נתחיל במערכת של שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים: cx + dy = f,ax + by = e אם ( a b, היא רגולרית, אז יש פתרון אחד ויחיד אחרת, יש c d המטריצה (המצומצמת של המערכת, יותר מפתרון אחד לא בהכרח אינסוף: מעל שדה סופי, כמו שדה השאריות, יהיה מספר סופי של פתרונות או אין פתרון y = ed bf af ec ad bc,x = ad bc נחפש את הפתרון, במקרה הרגולרי נקבל מכיוון שיש פתרון יחיד, 0 bc :ad אחרת, המטריצה לא תהיה רגולרית נניח 2822007 = 0 bc ;ad אם = 0,a אז = 0,bc ולכן = 0 b או = 0 :c קיבלנו שורת או עמודת אפסים באופן דומה, אם אחד מ- d,b,c הוא 0, מקבלים שורת או עמודת אפסים, ולכן המטריצה אינה, a d = b d ואז רגולרית אם 0 d,a, b, c, מכך ש- 0 = bc ad נובע ש- bc,ad = ולכן 0 s = b; = sd a, = sc כלומר, השורה הראשונה היא כפולה של השנייה, ושוב המטריצה אינה רגולרית כך: 2 נגדיר את הדטרמיננטה של מטריצה 2 a b det A = A = = ad bc c קל לראות (וראינו כיוון אחד ש- A רגולרית אם ורק אם 0 A d det טענה 1: א אם ב- A שתי שורות שוות, = 0 A det ב אם כופלים שורה בסקאלאר, הדטרמיננטה נכפלת באותו סקאלאר (הומוגניות det ( ( v u 1+u 2 = det v ( u 1 +det v ( u 2,det וכן v1+v 2 ( u = det v1 ( u +det v2 u ג מתקיים (מולטי-לינאריות ד = 1 I det (נורמליות טענה 2: מהתכונות א וג נובע שאם מחליפים שורות, סימן הדטרמיננטה מתהפך הוכחה נניח שהשורות הן,u, v ונניח ש- Δ היא פונקציה המקיימת את התכונות א וג אז ( ( ( ( ( ( ( u + v u v u u v v 0 = Δ = Δ + Δ = Δ + Δ + Δ + Δ u + v u + v u + v u v u v Δ ( u v = Δ ( v u Δ; כלומר, ( u v + Δ ( v u לכן = 0 מסקנה 3: אם בדטרמיננטה מחליפים שורות, הסימן מתהפך טענה 4: יש רק פונקציה אחת המקיימת את א, ב, ג וד, והיא הדטרמיננטה Δ ( a b c d הוכחה תהי Δ פונקציה כזו, ונראה שהיא הדטרמיננטה: = Δ ( a(1,0+b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0+d(0,1 + Δ b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0 + Δ a(1,0 ( d(0,1 + Δ b(0,1 ( c(1,0 + Δ b(0,1 d(0,1 = acδ ( 1 1 0 0 + adδ ( 1 0 0 1 + bcδ ( 0 1 1 0 + bdδ ( 0 0 1 1 = ad bc 6
12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות 122 הדרטמיננטה של מטריצה n n נחפש פונקציה המקיימת את התכונות א, ב, ג, ד כקודם: א אם ב- A שתי שורות שוות, אז = 0 Δ(A ב אם B מתקבלת מ- A על-ידי כפל שורה בסקאלאר s, אז sδ(a Δ(B = (הומוגניות ג אם A 1, A 2, A מטריצות בעלות אותן שורות פרט לשורה ה- i, כך שהשורה ה- i ב- A שווה לסכום השורות ה- i של A 1 ושל,A 2 אז 2 Δ(A = Δ(A 1 + Δ(A (מולטי-לינאריות ד = 1 Δ(I נראה שיש פונקציה יחידה כזו, ונגדיר אותה במפורש נעיקר שאם Δ פונקציה המקיימת את תכונות א וג ו- B מתקבלת מ- A על-ידי החלפת שתי שורות, אז Δ(A :Δ(B = בה"כ, נניח 0 = Δ ( v1 v 1 v n A = + Δ ( v1 v 2 v n ( v1 v 2 v n, B = + Δ ( v2 v 1 v n ( v2 v 1 v n שהחלפנו את השורה הראשונה בשנייה; אם, C = + Δ ( v1+v 2 v 2+v 1 v n ( v2 v 2 v n ברור ש- 0 =,Δ(C ואז = Δ(A + Δ(B ו-( Δ(A,Δ(B = כנדרש a11 a12 : a 21 a 22 בעצם, במחובר נשים לב שבמקרה 2,2 הדטרמיננטה היא = a 11 a 22 a 12 a 21 ( 1 2 2 באופן, ובשני את התמורה (האי-זוגית 1 1 2 הראשון מפעילים את התמורה (הזוגית 2 1 אנלוגי, נגדיר, כאשר S n הוא אוסף התמורות על n},,{1, det A = σ S n sgn(σa 1σ(1 a nσ(n ונראה ש- det היא היחידה המקיימת את ארבע התכונות ראשית, אם מחליפים שתי שורות ב- A, הדטרמיננטה מחליפה סימן: נסתכל במטריצה A ונחליף בה שתי שורות; אז בדטרמיננטה נקבל אותם מחוברים אך בסדר שונה, בלי להתייחס לסימן אך על-ידי החלפת השורות, ביצענו חילוף בכל אחת מהתמורות, לכן כל תמורה זוגית הפכה לאי-זוגית ולהיפך כלומר, סימן כל תמורה הפך מ-+ ל- ולהיפך לכן כל מחובר נכפל ב- 1, ולכן הכל נכפל ב- 1 תכונה א אם יש שתי שורות שוות, כל מחובר מופיע פעמיים: פעם בסימן + ופעם בסימן 732007 אם מציין השדה הוא,2 נקבל 0 nσ(n 2a 1σ(1 a אחרת, נניח שהשורה ה- i שווה לשורה ה- j,,i < j ותהי σ תמורה נסתכל במחובר nσ(n :a 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a הוא שווה למחובר (n,a 1σ (1 a iσ (i a jσ (j a nσ כאשר σ מתקבלת מ- σ על-ידי כפל מימין בחילוף בין i ל- j קיבלנו שני מחוברים ששווים בערכם המוחלט σ התקבלה מ- σ על-ידי 7
1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה כפל בחילוף, לכן זוגיות σ מנוגדת לזו של σ, ולכן sgn σ = sgn σ קיבלנו שכל המחוברים מתבטלים, לכן = 0 A det ותכונה א מתקיימת 3 תכונה ב נניח ש- B מתקבלת מ- A על-ידי כפל השורה ה- i ב- c על-פי ההגדרה, נקבל שמתקיים det B = σ S n sgn σa 1σ(1 ca iσ(i a nσ(n = c det A תכונה ג במונחי תכונה ג, det A = σ S n sgn σa 1σ(1 (a iσ(i + a iσ(i a nσ(n = σ S n sgn σ[(a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n + (a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n] = det A 1 + det A 2 תכונה ד תמורת הזהות (תמורת היחידה היא זוגית, לכן מחובר המתאים לה הוא = 1 1 1 שאר המחוברים שייכים לתמורות אחרות, אך לכל תמורה אחרת יש i כך ש- i,σ(i ואז = 0 iσ(i a, כי אינו על האלכסון לכן המחובר כולו 0 תהי Δ פונקציה המקיימת את א, ב, ג וד טענה 5: אם A מטריצה ו- B מתקבלת ממנה 1 על-ידי כפל שורה בסקאלאר c: אז ΔB = cδa (זוהי תכונה ב 2 על-ידי החלפת שורות: אז ΔB = ΔA (הוכחנו כבר 3 על-ידי הוספת c פעמים השורה ה- i לשורה ה- j ΔA = ΔB :(i j A = ( α1 α n, C = α 1 cα i α n, B = α 1 α i α j+cα i α n הוכחה נסמן ΔB = ΔA + ΔC = ΔA + cδ α 1 α i α i α n ואז מתקיים = ΔA + c 0 = ΔA טענה 6: אם ב- A יש שורת אפסים, אז = 0 ΔA 3 הוכחה אחרת: נניח שב- A השורות v j v, i שוות נחליף אותן ביניהן ונקבל שוב את A: אז det A = det A 0 = A det A = 0 2 det (הוכחה זו טובה פרט למקרה שמציין השדה הוא (2 8
12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות הוכחה נניח שהשורה ה- i היא שורת אפסים אז אם נכפול את השורה ה- i ב- 0, המטריצה לא תשתנה לכן = 0 ΔA ΔA = 0 טענה 7: אם A אינה רגולרית, אז = 0 ΔA הוכחה נניח שהשורה ה- i היא צירוף לינארי של שאר השורות אם כל מקדמי הצירוף הם 0, אז i שורת אפסים, ולפי הטענה הקודמת, = 0 ΔA בשאר המקרים, על-ידי שורת פעולות של הוספת כפולות של שורות אחרות לשורה ה- i, נקבל מטריצה עם שורת אפסים, ומבן שעבורה = 0 Δ אך בכל פעולה כזו ערך Δ אינו משתנה, ולכן = 0 ΔA טענה 8: יש פונקציה אחת ויחידה המקיימת את א, ב, ג וד הוכחה אחת כבר יש לנו, והיא det נוכיח שיש רק אחת תהיינה Δ 2,Δ 1 שתי פונקציות כאלה, ונראה :Δ 1 Δ 2 כלומר, לכל מטריצה,A Δ 1 A = Δ 2 A אם A אינה רגולרית, = 0 A ;Δ 1 A = Δ 2 אחרת, A מתקבלת מ- I על-ידי סדרת פעולות אלמנטריות על השורות לכל פעולה אלמנטרית, ה- Δ נכפל בסקאלאר שונה מ- 0, התלוי רק באותה פעולה אלמנטרית אז Δ 1 A = c 1 c 2 c k Δ 1 I וגם Δ 2 A = c 1 c 2 c k Δ 2 I אך Δ 1 A = Δ 2 A ולכן,Δ 1 I = Δ 2 I = 1 1232007 הגדרה אם ij,a = (a המטריצה המשוחלפת היא ji A t = (a מטריצה משוחלפת משפט :9 A det A t = det det A t = ad ו- cb,a t = ( a c d b ;det A = ad bc אז A = ( a b c d דוגמה הוכחה אם B = (b ij = (a ji,a = (a ij,a t = B אז det B = σ S n sgn σb 1σ(1 b nσ(n = σ S n sgn σa σ(11 a σ(nn = σ S n sgn σa 1σ 1 (1 a nσ 1 (n = σ S n sgn σ 1 a 1σ 1 (1 a nσ 1 (n כך עברנו על כל התמורות שב- S, n ורשמנו את המחוברים המתאימים, אולי בסדר שונה; לכן קיבלנו את det A מסקנה 10: כל מה שאמרנו על דטרמיננטות בקשר לשורות נכון גם בקשר לעמודות הוכחה (א אם ב- A יש שתי עמודות שוות, אז ב- A t יש שתי שורות שוות לכן, בגלל א, det A לכן = 0 det A = det A t אבל = 0 det A t = 0 באותו אופן מוכיחים את ב וג ראינו מה עושות פעולות אלמנטריות על שורות לדטרמיננטה; אותו דבר עושות הפעולות האלמנטריות על עמודות בין השאר, מקבלים שעמודות המטריצה תלויות אם"ם הדטרמיננטה שלה שווה ל- 0 משפט :11 B det AB = det A det 9
1 דטרמיננטות 13 חישוב דטרמיננטות הוכחה ראשית, נוכיח שתי טענות-עזר: למה :111 אם A מטריצה כלשהי ו- E מטריצה אלמנטרית, אז det EA = det E det A הוכחה E התקבלה מ- I על-ידי פעולה אלמנטרית חילוףך שורות, כפל שורה בסקאלאר 0 c, או תוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת במקרה הראשון, 1 = E ;det במקרה השני, ;det E = c במקרה השלישי, = 1 E det מהי?det EA במקרה הראשון, ; det A במקרה השני, ;c det A במקרה השלישי, det A לכן, בכל המקרים det EA = det E det A det(e 1 E k = det E 1 det E k מטריצות אלמנטריות, אז E 1,, E k det(e 1 E k = det E 1 det(e 2 E k = = det E 1 det E k למה 211: הוכחה נניח ש- A ו- B רגולריות אז כל אחת משתיהן היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות: B = E 1 E l,a = E 1 E k אז,AB = E 1 E k E 1 E l ולפי טענת-העזר השנייה, det A = det E 1 det E k אבל גם det AB = det E 1 det E k det E 1 det E l ו-,det B = det E 1 det E l לכן det AB = det A det B אם A או B סינגולרית, AB סינגולרית (כי דרגת מכפלת מטריצות קטנה מ- או שווה לדרגת כל אחת מהן לכן = 0 AB,det ולפחות אחת מבין det B,det A היא 0 לכן det A det B = 0 = det AB 13 חישוב דטרמיננטות מינור הגדרה נסתכל במטריצה A = (a ij n n (נניח ש- 1 > (n המינור של האיבר,a ij שיסומן A, ij זו הדטרמיננטה של המטריצה מסדר (1 n n (1 המתקבלת על-ידי מחיקת השורה 1 2 2 3 3 4 3 4 6 ה- i והעמודה ה- j ( a11 a a11 a12 12 a 13 A 23 = a 31 a 32 דוגמה אם,A = a 21 a 22 a 23 אז a 31 a 32 a 33 4 A = n משפט 12 (לפלס: j=1 ( 1i+j a ij A ij = 1 3 4 4 6 2 2 3 4 6 +3 2 3 3 1 2 3 לפי השורה הראשונה: = 4 דוגמה נחשב את 4 2 3 3 4 6 1 2 2 0 + 3 ( 1 = 2 3 = 1 det A = det ( a22 a 2n a n2 a nn הוכחה ראשית, נוכיח את המשפט עבור השורה הראשונה: ( 1 0 0 a 21 a 22 a 2n = A אז למה 112: אם a n1 a n2 a nn הוכחה בחישוב det A לפי ההגדרה, באות לידי ביטוי רק התמורות המעבירות את 1 ל- 1 אחרת, המחובר המתאים יהיה 0 (הכופל הראשון שלו הוא 0 על כל תמורה כזו אפשר להסתכל כעל תמורה של {n,,2}, בעלת אותה זוגיות (כי כל החילופים בה הם מ- 2 עד n קיבלנו nσ(n,det A = 1 σ sgn σa 2σ(2 a כנדרש 4 משפט זה בעצם מאפשר לפתח דטרמיננטה לפי השורה ה- i 10
14 חוק קרמר 1 דטרמיננטות det A = ( 1 1+j A 1j אז A = ( 0 0 1 0 0 a 21 a 2n a n1 a nn למה 212: אם הוכחה נחליף את העמודה ה- j בעמודה שלפניה שוב ושוב עד שעמודה זו תהיה ראשונה 5 ביצענו 1 j חילופים, והתקבלה מטריצה A שעונה על דרישות הלמה הראשונה; מצד אחד,,det A = A 1j ומצד שני, det A = ( 1 j 1 det A = ( 1 j+1 det A מכאן מתקבל הדרוש 1432007 כעת, את השורה הראשונה נוכל להציג כ-( 0 1 0 ( n1 a 11 ( 1 0 0 + + a נקבל ( 1 0 ( 0 1 det A = a 11 det + + a n1 det = n j=1 ( 11+j a 1j A 1j עבור השורה ה- i, נחליף את השורה ה- i עם זו שלפניה, ואז את השורה ה- 1 i עם זו שלפניה,det A = ( 1 i 1 det ואם כעת נפתח לפי ( ai1 a in a 11 a 1n a n1 a nn det A = ( 1 i 1 n j=1 ( 1j+1 a ij A ij = n וכו ; כעבור 1 i החלפות, נקבל השורה הראשונה נקבל j=1 ( 1i+j a ij A ij הוכחנו ש- A,det A t = det לכן נקבל שניתן לפתח באופן זהה גם לפי עמודות טענה 13: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון הראשי הוכחה באינדוקציה על n אם = 1 n, ברור נניח נכונות ל- 1 n ונוכיח נכונות ל- n נתונה מטריצה n n משולשית A נפתח לפי העמודה הראשונה (אם המטריצה משולשית עליונה או לפי השורה הראשונה (אם המטריצה משולשית תחתונה, ונקבל det A = a 11 A 11 המטריצה המינורית ל- a 11 אף-היא משולשית, ואלכסונה הראשי הוא ;a 22,, a nn לפי הנחת האינדוקציה, A 11 = a 22 a nn לכן det A = a 11 a 22 a nn מכפלת איברי האלכסון הראשי 14 חוק קרמר נניח שיש מערכת,cx + dy = f,ax + by = e כאשר המטריצה המצומצמת רגולרית אז יש e f x = a c פתרון יחיד, והוא, כפי שכבר חישבנו קודם, b a b d c d, y = e a b f c d באופן כללי יותר: משפט 14 (חוק קרמר: תהי A מטריצה רגולרית n, n ויהי b וקטור עמודה (מעל שדה F אז למערכת A x = b יש פתרון יחיד לכל k, תהי A k המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי החלפת X 1 = A1 A,, X n = An A העמודה ה- k בווקטור b ; אז הפתרון היחיד של המערכת הוא 5 נשים לב שזה שונה מהחלפה בבת-אחת (כלומר, החלפת העמודה ה- j עם העמודה ה- 1 : החלפה בבת-אחת לא שומרת על סדר העמודות 11
1 דטרמיננטות 15 המטריצה המצורפת k c k = A מכיוון שזהו פתרון, A c 1 הוכחה יהי n (c 1,, c הפתרון היחיד; עלינו להוכיח שלכל,k a 11 + + c n a 1n = b 1 a n1 a nn b n det A 1 = det = det נחשב את :det A 1 ( b1 a 12 a 1n ( bp n a n2 a nn n i=1 cia1i a12 a1n P n i=1 ciani an2 ann ( a1i a 12 a 1n a ni a n2 a nn = n i=1 c i det לכל > 1 i, יש במטריצה המתאימה שתי עמודות שוות, לכן המחובר המתאים הוא 0 נותר c 1 = det A1 det A רק המחובר המתאים ל- 1 =,i והוא c 1 det A אז,det A 1 = c 1 det A לכן נקבל ביטויים דומים עבור c 3 c, 2 וכו n טענה :15 עבור j=1 ( 1i+j a kj A ij = 0,k i הוכחה תהי B המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי רישום השורה ה- k במקום ה- i,det B = 0 det B = n כי יש שתי שורות שוות מצד שני, נפתח לפי השורה ה- i : 1=j ( 1i+j a kj B ij n המינורים של השורה ה- i ב- B הם כמו ב- A, לכן = 0 ij 1=j a kja 15 המטריצה המצורפת מטריצה מצורפת הגדרה תהי A מטריצה n n מעל שדה F המטריצה המצורפת matrix (adjoint היא 1932007 המטריצה המוגדרת על-ידי ij adj A = (b כאשר (A = (a ij b ij = ( 1 i+j A ji adj A = ( 0 0 0 = ;A אז 0 0 0 0 0 0 ( 1 1 1 דוגמה תהי 1 1 1 1 1 1 מהו?A adj A c ij = n אם k=1 a ikb kj = n אם נסמן ij,a adj A = (c נקבל k=1 ( 1k+j a ik A jk i, לכל אז הפיתוח לפי השורה ה- i (נוסחת A = n k=1 ( 1k+i a ik A ik מקבלים,i = j,c ij = δ ij A שהוכחנו לעיל אז נוכל לכתוב (כפי c ij נקבל = 0,i j אבל אם c ii = A ו- A I A adj A = 1 A נוכל להסיק שלכל נובע שאם A סינגולרית, = 0 A A adj אחרת, A adj A = I A 1 = 1 A מטריצה רגולרית adj A,A ( = A, A = 4 6 = 2,adj ומכאן נקבל 4 2 ( = ;A אז 3 1 1 2 דוגמה תהי 4 3 ( A 1 = 1 4 2 ( 2 1 2 3 1 = 3 2 1 2 12
2 לכסון מטריצות = Ax אך אילו A היתה ( 1 1 + 2 2 + 3 3 4 1 + 5 2 + 6 3 7 1 + 8 2 + 9 3 ( ax x = ( 1 2 3,A = 2 לכסון מטריצות ממש תענוג ( a 0 0 0 b 0 0 0 c ( x y = z by cz 21 מוטיבציה ( 1 2 3 נסתכל במטריצה 4 5 6 7 8 9 אלכסונית, פעול כפל כזו היתה הרבה יותר פשוטה: והואיל ומתמטיקאים הם רודפי-תענוגות, הם מעדיפים שמטריצות תהיינה אלכסוניות למעשה, במקרה הכללי, מחפשים בסיס שלפיו המטריצה היא אלכסונית: יהי V מרחב n -מימדי מעל,F ותהי T : V V ט"ל יהי n B 1 = (v 1,, v בסיס של ונניח ש- B,V בסיס של B 2 = (u 1,, u n לפי בסיס זה יהי T של המטריצה נניח ש- A V היא המטריצה של T לפי בסיס זה אם P היא מטריצת המעבר מהבסיס B 1 לבסיס B, 2 אז 6 B = P 1 AP מטריצות דומות הגדרה אומרים שהמטריצה B דומה למטריצה A אם יש P רגולרית כך ש- B = P 1 AP 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 221 הגדרה ויהי n (v 1,, v בסיס של V לפי המטריצה של T אלכסונית: כלומר, מהצורה ( תהי T ט"ל a1 0 0 אז T v i = a i v i באופן כללי: 0 0 0 0 a n וקטור עצמי הגדרה אם T ט"ל ו- 0 v וקטור, v נקרא וקטור עצמי (eigenvector של T אם קיים סקאלאר T v = כך ש- λv λ אם n v 1,, v הוא בסיס שלפיו המטריצה אלכסונית, כל וקטור בבסיס הוא וקטור עצמי של T מצד שני, אם n v 1,, v בסיס של וקטורים עצמיים, המטריצה אלכסונית לפי בסיס זה הוכחה נניח ש-( (v 1,, v n בסיס שאיבריו וקטורים עצמיים; אז,T v i = a i v i והמטריצה היא T v 1 = a 1 v 1 + 0v 2 + + 0v n,, T v n = 0v 1 + + 0v n 1 + a n v n ערך עצמי לא לכל טרנספורמציה לינארית יש בסיס של וקטורים עצמיים: למשל, נסתכל בט"ל T : R 2 R 2 שהיא סיבוב ב- 90 סביב הראשית, במגמה החיובית לטרנספורמציה זו לא קיימים וקטורים עצמיים הגדרה תהי A מטריצה n n מעל F סקאלאר a F ייקרא ערך עצמי (eigenvalue של A אם קיים וקטור v F n 0 (וקטור עמודה כך ש- av Av = אומרים ש- v הוא וקטור עצמי השייך לערך העצמי a P 6 הפיכה, כי היא מעבירה בסיס לבסיס 13
22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 2 לכסון מטריצות יחס הדימיון רפלקסיבי A,A כי ;A = I 1 AI הוא גם סימטרי B = A,A = P BP 1 = B = P 1 AP כלומר 1 BP ;A = (P 1 1 בנוסף, הוא טרנזיטיבי אם B דומה ל- A ו- C דומה ל- B, קיימות מטריצות רגולריות P ו- Q כך ש- B, = P 1 AP ;C = Q 1 BQ לכן C = Q 1 P 1 AP Q = (P Q 1 AP Q לכן זהו יחס שקילות 222 מציאת ערכים עצמיים נניח ש- a ערך עצמי של A אז קיים וקטור עמודה v כך ש- aiv ;Av = av = כלומר, = 0 aiv Av aiv = (A קיבלנו ש- a הוא ע"ע של A אם"ם למערכת המשוואות = 0 aiv A יש פתרון לא-טריוויאלי זה נכון אם"ם המטריצה A ai סינגולרית, וזה נכון אם"ם = 0 A A ai = ai ( 0 1 = A (מטריצת הסיבוב ב- (90 מעל 1 0 דוגמה מהם הערכים העצמיים של המטריצה xi A = 0 ( x 0 x 0 ( 0 1 1 0 = 0 x 1 1 x = 0 x 2 +1 = 0 אין פתרונות מעל R, לכן אין ע"ע מעל R :R מעל A = ( 1 1 1 דוגמה 1 xi A = 0 ( x 0 x 0 ( 1 1 1 1 = 0 x 1 1 1 x 1 = 0 כלומר, = 0 2 x(x (x 1 2 1 = 0 x 2 2x = יש שני ע"ע: 0 ו- 2 ( 1 1 1 כלומר, = 0 y x + y = 0 x + נבחר, למשל, 1 ( ( x y = 0 0 נחפש ו"ע השייכים ל- 0 : ( 1 1 1 כלומר, x + y = 2x x + y = 2y למשל, 1 ( ( x y = 2x 2y 1 (1, עבור הע"ע :2 נבחר 1 (1, ( 0 0 0 שני וקטורים אלה מהווים בסיס; לפיו, המטריצה היא 2 2132007 טענה 16: v הוא ו"ע של T אם"ם הישר span{v} מועתק על-ידי T לתוך עצמו; ואם הע"ע?R המתאים שונה מ- 0, ישר זה מועתק על עצמו הוכחה תרגיל משפט 17: אם T ט"ל ו- A המטריצה שלה לפי בסיס מסויים, ל- T ול- A יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- λ ע"ע של T תהי A המטריצה של T לפי הבסיס B יהי V ו"ע של T השייך ל- λ, ונסמן [v] B וקטור הקואורדינטות של v לפי הבסיס,v 0 B לכן 0 B ;T v = λv [v] כאשר נעבור למטריצות, נקבל ש- A[v] B = λ[v] B לכן λ ע"ע של A כל הטיעונים תקפים גם בכיוון ההפוך; לכן מקבלים שאם λ ע"ע של A אז הוא ע"ע של T משפט 18: לשתי מטריצות דומות יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- A B אז B = P 1 AP יהי λ ע"ע של A, ויהי 0 v ו"ע השייך לו אז B(P 1 v = P 1 AP P 1 v = P 1 Av = P 1 λv = λp 1 v Av = λv לכן λ ע"ע של B, ו- v P 1 ו"ע השייך לו (v P, 1 כי 1 P רגולרית הכיוון ההפוך נובע מסימטרייה 14
2 לכסון מטריצות 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים A ראינו שע"ע של B = ( 0 0 0 ( = ;A היא דומה למטריצה 2 1 1 דוגמה נסתכל במטריצה 1 1 ( 1 ; אבל זה 1 הם 2 ו- 0, ולכן גם הע"ע של B הם 2 ו- 0 ו"ע של A השייך לע"ע 2 הוא, למשל, ( 0 0 0 2 ( ( 1 1 = 0 2 אינו ו"ע של B: טענה 19: המטריצה A סינגולרית אם"ם 0 הוא ע"ע שלה הוכחה נניח ש- A סינגולרית אז למערכת המשוואות = 0 Ax יש פתרון לא-טריוויאלי יהי v פתרון כזה; אז 0,v אבל,Av = 0 = 0v ולכן 0 ע"ע של A אם A אינה סינגולרית, היא רגולרית, ולמערכת = 0 Ax הפתרון היחיד הוא 0; לכן לא קיים A ולכן 0 אינו ע"ע של,Av = כך ש- 0v v כלומר, אין 0 Av = כך ש- 0 v 0 טענה :20 תהי T ט"ל A מטריצה, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T (של (A עם ו"ע,v 1,, v k בהתאמה אז v 1,, v k בת"ל הוכחה באינדוקציה על k אם = 1 k, יש לנו המערכת 1 v, 1 0 v לכן מערכת זו בלתי-תלויה נניח ל- k ונוכיח ל- 1 + k יש לנו ע"ע שונים k+1 λ 1,, λ k, λ ווו"ע k+1 v 1,, v k, v השייכים a 1 v 1 + + a k v k + a k+1 v k+1 = 0 להם, בהתאמה נוכיח שהם בת"ל: נניח ש- λ k+1 a 1 v 1 + + λ k+1 a k v k + λ k+1 a k+1 v k+1 = 0 נכפול ב- 1+k λ: ובנוסף, נפעיל את T על (נכפול משמאל ב- A את שני אגפי השוויון הראשון: a 1 λ 1 v 1 + + a k λ k v k + a k+1 λ k+1 v k+1 = 0 נפחית את השוויון האחרון מהקודם לו, ונקבל a 1 (λ 1 λ k+1 v 1 + + a k (λ k λ k+1 v k = 0 מהנחת האינדוקציה, = 0 k+1 a 1 (λ 1 λ k+1 = = a k (λ k λ לכל i k,1 0 k+1,λ i λ כי אלו ע"ע שונים; לכן = 0 k a 1 = = a נציב בשוויון הראשון, ונקבל = 0 k+1 a k+1 v אבל 0 k+1,v לכן = 0 k+1 a קיבלנו שבכל צירוף לינארי מתאפס של k+1 v 1,, v כל המקדמים מתאפסים, לכן וקטורים אלה בת"ל מסקנה 21: אם n -מימדי V ו- T, : V V אז ל- T יש לכל היותר n ע"ע שונים הוכחה אם ניקח k ע"ע שונים ונבחר לכל אחד ו"ע, נקבל k וקטורים בת"ל מכאן, k n מסקנה 22: למטריצה n n יש לכל היותר n ע"ע שונים 15
23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות תהי T ט"ל, ויהי λ ע"ע שלה נסתכל בקבוצת הווקטורים λv} V λ = {v V : T v = V λ מכילה את כל הוו"ע השייכים ל- λ ואת 0, ואלה כל איבריה; ברור ש- V λ תת-מרחב של :V לא ריק, כי V λ ;0 אם v 1, v 2 V λ אז T v 1 = λv 1 ו- T v 2 = λv 2 נחשב ונקבל 2 T (v 1 + v 2 = T v 1 + T v 2 = λv 1 + λv 2 = λ(v 1 + v באופן דומה, לגבי כפל בסקאלאר הגדרה V λ נקרא המרחב העצמי של λ מרחב עצמי 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 231 הפולינום האופייני הראינו ש- λ הוא ע"ע של A (מטריצה (n n אם"ם = 0 A λi נסתכל בביטוי A : xi x a 11 a 12 a 1n a 21 an 1n a n1 a nn 1 x a nn זהו פולינום ממעלה n: n = (x a 11 (x a nn + n sgn σ a iσ(i id σ S n i=1 פולינום אופייני הגדרה הפולינום A p(x = xi נקרא הפולינום האופייני של A אם p(x הוא הפולינום האופייני של A, אז λ ע"ע אם"ם הוא שורש של :p(x כלומר, אם"ם p(λ = 0 2632007 טענה 23: אם A ו- B מטריצות דומות, יש להן אותו פולינום אופייני הוכחה B = P 1 AP הפולינום האופייני של A הוא A ; xi של :B xi B = xi P 1 AP = xp 1 IP P 1 AP = P 1 xip P 1 AP = P 1 (xi AP = P 1 xi A P = xi A P 1 P = xi A P 1 P = xi A I = xi A לכן ל- A ול- B יש אותו פולינום אופייני A B אך, xi A = xi B = נקבל x 2 :B = ( 0 1 0 0,A = ( 0 0 דוגמה 0 0 יהי V מרחב n -מימדי מעל השדה T : V V F, ט"ל מהמשפט הקודם, נוכל להגדיר את הפולינום האופייני של T כפולינום האופייני של אחת מהמטריצות המייצגות את T יש הרבה כאלה, אך כולן דומות לכן לכולן אותו פולינום אופייני, ושורשיו הם הע"ע של T 16
2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי טענה 24: יהי p(x פולינום מעל F הסקאלאר a הוא שורש של p(x אם"ם x a מחלק את הפולינום; כלומר, אם קיים פולינום q(x כך ש-( aq(x p(x = x הוכחה אם x a מחלק את,p(x,p(x = (x aq(x ואם נציב x = a נקבל 0 בכיוון השני, נניח ש- 0 = p(a p(a = a 0 + + a n a n,p(x = a 0 + + a n x n n p(x = p(x p(a = a 1 (x a + + a n (x n a כל-אחד מהמחוברים הנ"ל מתחלק ב- a,x לכן p(x מתחלק ב- a x 7 ריבוי אלגברי הגדרה הריבוי האלגברי של השורש a של פולינום הוא ה- k המקסימלי כך ש- x (a k מחלק את הפולינום (נסמן: (a m A הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי האלגברי של a כע"ע של T הוא ריבויו האלגברי כשורש של הפולינום האופייני ריבוי גיאומטרי הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי הגיאומטרי של a כע"ע של T הוא המימד של המרחב העצמי V a (נסמן: (a (m G משפט :25 (a m G (a m A הוכחה נניח m G (a = k נסתכל במרחב העצמי ;V a מימדו k נבחר בסיס ל- (v 1,, v k,v a כל איברי הבסיס הם ו"ע של T השייכים ל- a נשלים בסיס זה לבסיס של (v 1,, v k,, v n :V נסתכל במטריצה של T לפי הבסיס הזה: זוהי מטריצה מהצורה a 0 0? 0? 0? 0 0 a? 0?? 0 0 0? עבורה הפולינום האופייני הוא, אם נפתח לפי העמודה הראשונה, q(x (x a k קיבלנו שהפולינום V λ1,, V λk המרחבים האופייני מתחלק ב- (x a k לכן (a m A (a k = m G משפט :26 תהי T ט"ל, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T יהיו העצמיים שלהם אז לכל V; λ1 V λ2 = {0} k, 1 k 2 יתר על כן, החיתוך של כל מרחב עצמי עם סכום המרחבים העצמיים האחרים מכיל רק את 0 הוכחה נוכיח, בה"כ, שהחיתוך של V λk עם הסכום של השאר מכיל רק את 0 יהי v וקטור בחיתוך אז v = v 1 + +v k 1 V λk ל- v i V λi לכל 1 k i 1 אז = 0 v v 1 + +v k 1 נראה ש- k 1 v 1, v 2,, v שווים כולם ל- 0, ומכאן נקבל = 0 :v אילו אחדים מהם היו שונים מ- 0, הם היו ו"ע השייכים לע"ע שונים; אבל למדנו שו"ע השייכים לע"ע שונים הם בת"ל, ולכן הסכום לא יכול להיות 0 בסתירה x k a k = (x a(x k 1 + x k 2 a + + a k 1 7 17
23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות 2832007 הגדרה סכום ישר של תתי-מרחבים W,U הוא } W,U + W = {u + w : u U, w אם סכום ישר כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ- w u + עבור w W,u U מסמנים U W תנאי הכרחי ומספיק לכך ש- U + W יהיה סכום ישר הוא ש-{ 0 } = W U באופן טבעי, ניתן להרחיב הגדרה זו לסכום סופי: הסכום U 1 + + U k נקרא סכום ישר אם כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ-,u 1 + + u k כך שלכל i מתקיים u i U i תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שהחיתוך של כל תת-מרחב עם סכום האחרים מכיל רק את האפס מסמנים U 1 U k = k i=1 U i על-פי המשפט, נקבל שסכום מרחבים עצמיים שונים הוא סכום ישר dim k i=1 = k מסקנה,dim(U 1 U 2 = dim U 1 + dim U 2 :27 ובאופן כללי i=1 dim U i הוכחה (ב באינדוקציה: = k+1 dim(u 1 U k+1 = dim(u 1 U k + dim U dim U 1 + + dim U k+1 232 משפט קיילי המילטון ( 1 3 2 = A הפולינום האופייני הוא 5x 2 xi A = x 2 נציב בפולינום זה נסתכל במטריצה 4 ( 15 7 10 22 ( 15 5 10 20 ( 2 0 0 2 = ( 0 0 0 את :A נקבל A2 5A 2I למה זה שווה? נחשב ונציב: 0 272007 משפט 28 (קיילי-המילטון: אם T : V V ט"ל V מרחב n -מימדי מעל (F ו-( p(x הפולינום האופייני של,T אז = 0 f(t 98 הוכחה נוכיח למקרה של מטריצה,p(x = xi M = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + x n ולכל מטריצה P adj P = P I,P בפרט, (xi M adj(xi M = xi M I = p(xi = a 0 I + a 1 xi + + x n I איברי המטריצה A adj(xi הם מינורים, כלומר דטרמיננטות מסדר 1 (n (n 1 לכן הם פולינומים ממעלה 1 n לכל היותר כל מטריצה שאיבריה פולינומים אפשר לכתוב בצורה,B 0 + B 1 x + + B k x k כאשר B 1,, B k הן מטריצות של איברי k n 1,F קיבלנו n 1,adj(xI M = B 0 + B 1 x + + B n 1 x לכן (xi M(B 0 + B 1 x + + B n 1 x n 1 = a 0 I + a 1 Ix + + Ix n נפתח סוגריים ונקבל MB 0 +(B 0 MB 1 x+ +(B n 2 MB n 1 x n 1 +B n 1 x n = a 0 I + +Ix n נעשה השוואת מקדמים: 8 זוהי טרנספורמציית האפס, לא סקאלאר האפס 9 לגבי מטריצות: אם M מטריצה n n מעל F ו- p הוא הפולינום האופייני שלה, אז = 0 p(m 18
2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי MB 0 = a 0 I B 0 MB 1 = a 1 I B n 2 MB n 1 = a n 1 I B n 1 = I נכפול את השוויון ה- i -י משמאל ב- 1 i M: MB 0 = a 0 I MB 0 M 2 B 1 = a 1 M M n 1 B n 2 M n B n 1 = a n 1 M n 1 M n B n 1 = M n נחבר את השוויונים: = a 0 I + a 1 M + + a n 1 M n 1 + M n 0 כלומר, = 0,p(M כנדרש 233 הפולינום המינימלי פולינום מינימלי הגדרה אם T ט"ל (M מטריצה, n -מימדי, V הפולינום המינימלי של (M, T שיסומן (x µ T (M T הוא הפולינום המתוקן 10 בעל המעלה החיובית הקטנה ביותר המאפס את µ, M ((x טענה 29: א יש פולינום יחיד בעל תכונה זו ב כל פולינום שמאפס את T מתחלק ב- µ T ג שורשי הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים הוכחה א מדוע יש פולינום ממעלה חיובית קטנה ביותר המאפס את T? בכל קבוצה לא-ריקה של מספרים טבעיים יש איבר ראשון נסתכל בקבוצת המספרים n N כך שיש פולינום מתוקן ממעלה n המאפס את T זוהי קבוצה לא-ריקה, כי היא מכילה את מימד המרחב יהי n 0 המספר הקטן ביותר בקבוצה זו, ויהי µ(x פולינום ממעלה n 0 המאפס את T פולינום זה מקיים את הדרישה מפולינום מינימלי נוכיח יחידות: נניח ש- µ 1 ו- µ 2 שני פולינומים מתוקנים ממעלה חיובית מינימלית המאפסים את T נחלק את µ 2 ב- µ 1 עם שארית, ונקבל,µ 2 = q µ 1 + r כאשר r(x הוא פולינום האפס: נציב את :T נקבל r(t,µ 2 (T = q(t µ 1 (T + כלומר r(t + 0 = 0 אז לא ייתכן ש- r פולינום ממעלה 0 השונה מ- 0, כי אז נקבל 0 k r(t = בנוסף, לא ייתכן ש- r ממעלה חיובית, כי אז 1 < deg(r < deg(µ 0 ונקבל סתירה למינימליות µ 1 (כי µ 2 = q אינו מתוקן, קל לתקן אותו אז קיבלנו µ 1 r כזכור, ואם,r(T = 0 נראה ש- 1 = q,deg(µ 2 = deg(µ 1 אבל גם 1 ;deg(µ 2 = deg(q + deg(µ לכן = 0,deg(q ולכן q קבוע + k µ 1 (x = x ו- + k µ 2 (x = x (כי אלה פולינומים 10 פולינום מתוקן ממעלה n הוא פולינום מהצורה p(x = x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 19
24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות מתוקנים, אז q(x x k = x k ולכן = 1 q קיבלנו µ 1 = µ 2 ב יהי p(x פולינום המאפס את T ויהי µ הפולינום המינימלי; נראה ש-( µ(x מחלק את p(x נחלק עם שארית: r(x p(x = q(x µ(x + אם נראה ש- 0 =,r(x נסיים אחרת, r קבוע השונה מ- 0 או פולינום ממעלה חיובית אבל בהוכחת סעיף א ראינו שאף אחת מאפשרויות אלה לא תיתכן, ולכן = 0 r אז µ(x,p(x = q(x כנדרש ג נראה שכל ע"ע הוא שורש של µ(x למה 129: אם T ט"ל ו- M מייצגת אותה בבסיס מסויים, µ T = µ M 11 הוכחה מספיק להראות שאם M מייצגת את T בבסיס מסויים ו- f פולינום כלשהו, אז f(m מייצגת את f(t לפי אותו בסיס אולם זה נובע מהאיזומורפיזם בין חוג הטרנספורמציות לחוג המטריצות לכן = 0 f(m f(t = 0 מכאן, הפולינום המינימלי של שתיהן הוא אותו פולינום יהי c ע"ע של M (נוכיח למטריצה, ומהלמה הטענה תנבע עבור העתקה לכן = 0 M ci נחלק את µ(x ב-( c (x עם שארית: r(x,µ(x = q(x (x c + כאשר r קבוע (כי = 1 c deg r < deg(x (0 נראה ש- 0 = r נציב את M ונקבל = µ(m = (M ci q(m + ri 0 אז q(m ri = (ci M ניקח דטרמיננטה ונקבל q(m r n = ci M det אבל = 0 M, ci ולכן נקבל = 0 r אז µ(x מתחלק ב-( c x, ולכן c שורש של µ(x 24 תנאים ללכסינות 2832007 משפט 30: העתקה לינארית T ניתנת ללכסון אם"ם סכום הריבויים הגיאומטריים של הערכים העצמיים שלה הוא n, מימד המרחב הוכחה נניח שסכום הריבויים הגיאומטריים הוא n יהיו λ 1,, λ k הע"ע השונים נסתכל (d i את מימדו (נסמן V λi בסיס של (v1, i, vd i i במ"ע V λ1,, V λk לכל i k,1 יהי כל שניים מהבסיסים האלה זרים, משום שהחיתוכים מכילים רק את 0 ובבסיס אין וקטור ה- 0 נסתכל באיחוד הבסיסים הללו מספר הווקטורים הוא סכום הריבויים הגיאומטריים, והוא n נוכיח שהאיחוד הוא בסיס של V הואיל ויש n וקטורים, די להוכיח אי-תלות (או, במידה שווה, פרישה נניח ש- a 1 1v1 1 + + a 1 d 1 vd 1 1 + + a k 1v1 k + + a k d k vd k k = 0 נעביר אגפים: a 1 1v1 1 + + a 1 d 1 vd 1 1 = (a 2 1v1 2 + + a 2 d 2 vd 2 2 + + a k 1v1 k + + a k d k vd k k 11 כמסקנה, למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני 20
2 לכסון מטריצות 24 תנאים ללכסינות אגף שמאל שייך ל- V, λ1 כי הוא בסיס של V; λ1 אגף ימין שייך לסכום המרחבים העצמיים האחרים אם כן, קיבלנו שוויון בין האגפים, אך החיתוך של V λ1 עם סכום האחרים מכיל רק את,a 1 1v1 1 + + a 1 d 1 אך מכיוון שזה צירוף לינארי vd 1 1 האפס, ולכן שני האגפים הם אפס לכן = 0 a 1 1 = = a 1 d 1 מתאפס של איברי בסיס, = 0 באותו אופן, נשאיר את המחוברים השייכים ל- V λ2 באגף שמאל ונעביר את השאר ימינה;,a 2 1 = = a 2 d 2 וכן הלאה כך נקבל שכל המקדמים שווים ל- 0, ולכן קיבלנו בסיס נקבל ש- 0 = של V כל איברי הבסיס הם וקטורים עצמיים, לכן T לכסינה בכיוון השני: ראשית, נעיר שסכום הריבויים הגיאומטריים תמיד קטן מ- או שווה ל- n מדוע? סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- או שווה ל- n, וכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי המתאים לכן אם סכום הריבוים הגיאומטרי איננו n, הוא קטן מ- n נסתכל בסכום הישר של כל המרחבים העצמיים זה תת-מרחב של V, ומימדו קטן מ- n לסכום-ישר זה יש בסיס עם פחות מ- n איברים, וכל איברי הבסיס הם ו"ע כל הו"ע נמצאים בסכום הישר הזה, והם פורשים אותו; לכן המספר המקסימלי של ו"ע בת"ל הוא מימד הסכום הישר, שקטן מ- n לכן אין n ו"ע בת"ל, ולכן אין בסיס שכולו ו"ע ל- V, ו- T איננה לכסינה משפט 31: T לכסינה אם"ם מתקיימים שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב לכל ע"ע m A (λ = m G (λ,λ הוכחה נניח שהתנאים מתקיימים אז סכום הריבויים האלגבריים הוא n, כי הפולינום האופייני מתפרק לגמרי בגלל תנאי ב, סכום הריבויים הגיאומטריים שווה לסכום הריבויים האלגבריים, וזה n; לכן, לפי המשפט הקודם, T לכסינה בכיוון השני: אם א אינו מתקיים, סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n ; מכיוון שכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי, בוודאי סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n, ומהמשפט הקודם, T אינה לכסינה אם ב אינו מתקיים, קיים ע"ע λ כך ש-( λ m G (λ < m A לכן m G < m A n, ושוב קיבלנו שסכום הריבויים הגיאומטריים קטן מ- n, ו- T אינה לכסינה משפט 32: T לכסינה אם"ם שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב הפולינום המינימלי מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים שונים הוכחה נניח ש- T לכסינה אז יש בסיס B שלפיו המטריצה A של T אלכסונית µ A = µ T באלסכון של A מופיעים בדיוק כל הערכים העצמיים של A ומחוץ לאלכסון מופיעים אפסים, לכן הפולינום האופייני של A הוא n λ i (x λ 1 (x λ ע"ע, ולכן מתפרק לגמרי יהיו λ 1,, λ k כל הע"ע השונים של A נסתכל בפולינום k g(x = (x λ 1 (x λ נציב בו את A ונקבל I g(a = (A λ 1 I (A λ k בכל מקום באלכסון, לפחות באחד 21
24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות הכופלים יש 0 לכן = 0 g(a קיבלנו פולינום מתוקן המאפס את A, לכן g(x µ(x כלומר, המעלה של µ(x היא לכל היותר k אבל λ 1,, λ k שורשים של,µ(x לכן deg(µ(x k קיבלנו,deg(m(x = k ו-( g(x µ(x = (הוכחת הכיוון השני לא נלמדה 22
3 מרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית 31 מכפלה סקאלארית מכפלה סקאלארית הגדרה יהי V מ"ו מעל R מכפלה סקאלארית היא פונקציה מ- V V ל- R, שתסומן α β או 2852007 β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (סימטריות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- R 2 או ב- R 3 כמרחבים מעל R מגדירים פעולה על R, 3 R 2 שנקראת מכפלה סקאלארית, שתוצאתה מספר ממשי, על-ידי,α β = α, β = α β cos θ כאשר α ו- β וקטורים ו- θ היא הזווית ביניהם ב-,R 2 אם 1,β = (a 2, b 2,α = (a 1, b אז,β = (b 1,, b n,α = (a 1,, a n,r n מתקיימות התכונות ב- α β = a 1 a 2 + b 1 b 2 α β = a 1 b 1 + + a n b n מקיימת את התכונות, ולכן היא מכפלה סקאלארית דוגמה יהי V מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות בקטע [1,0] עם הפעולות הרגילות של 1 = g f צריך לבדוק ברצינות רק את תכונה חיבור וכפל בסקאלאר, ונגדיר f(xg(xdx 0 1? אנו מסתמכים על משפט: אם 0 f אבל 0 f ד : מדוע אם 0 f אז > 0 dx 0 f(x2 1 ו- f רציפה, > 0 f(xdx 0 תכונות: 1 במקום התכונות ב וג, אפשר לכתוב β (aα + a α β = a(α β + a (α α (β + β = (β + β α = β α + β α = α β + α β 2 0 3 α α α = 0,α אם"ם = 0 α (אם 0,α לפי ד > 0 α ;α אחרת, לפי ג, (α α = 0α α = 0(α α = 0 מרחב אוקלידי V עם המכפלה הסקאלארית נקרא מרחב אוקלידי 32 מכפלה הרמיטית מכפלה הרמיטית הגדרה יהי V מ"ו מעל C מכפלה הרמיטית היא פונקציה מ- V V ל- C, שתסומן α β או β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (הרמיטיות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון 23
33 מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- C n ונגדיר (a 1,, a n (b 1,, b n = a 1 b 1 + + a n b n זה מקיים את ארבע התכונות הנדרשות תכונות: 1 מא נובע ש- α α ממשי, כי α α = α α α (β + β = α β + α β 2 (α (β + β = (β + β α = β α + β α = β α + β α = α β + α β (α bβ = bβ α = bα β α bβ = bα β 3 V עם המכפלה ההרמיטית נקרא מרחב אוניטרי מרחב אוניטרי 33 מכפלה פנימית 331 הגדרה מכפלה סקאלארית ומכפלה הרמיטית נקראות, באופן כללי, מכפלה פנימית נשים לב שמעל R, α: β = α β לכן המכפלה הסקאלארית היא מקרה פרטי של מכפלה הרמיטית, ונוכל להגדיר מכפלה פנימית כך: מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית הגדרה יהי V מרחב מעל {C F,R} מכפלה פנימית מעל V היא פונקציה מ- V V ל- F המקיימת א α β = β α ב (α + α β = α β + α β ג β (aα β = a(α ד 0 α α α > 0 = V עם נקרא מרחב מכפלה פנימית 332 אורך וקטור הגדרה במרחב מכפלה פנימית, האורך של וקטור α מוגדר כ- α α = α אורך וקטור טענה :33 א 0, α ויש שוויון אם"ם = 0 α ב a α a α = ג β 2 α ± β 2 = α 2 ± 2 Re(α β + הוכחה א נובע בקלות מהתכונות ב α aα 2 = (aα (aα = aa(α α = a 2 נוציא שורש ונקבל a α aα = 24
3 מרחבי מכפלה פנימית 33 מכפלה פנימית ג נוכיח עם +: α + β 2 = (α + β (α + β = α α + α β + β α + β β = α α + α β + α β + β β = α 2 + 2 Re(α β + β 2 333 מרחק בין וקטורים המרחק בין α ל- β הוא β ; α מסמנים β d(α, כמובן, α d(α, 0 = תכונות: α = β ויש שוויון אם"ם,d(α, β 0 1 d(α, β = d(β, α 2 3 γ d(α, γ d(α, β + d(β, (אי-שוויון המשולש 334 ניצבות וקטורים ניצבות הגדרה נאמר ש- α ניצב ל- β (α β אם = 0 β α ברור ש- β α אם"ם β; α כמו-כן, 0 ניצב לכל וקטור (זהו הווקטור היחיד שניצב לכל וקטור, מהחיוביות: אם α ניצב לכל וקטור, בפרט ;α α לכן = 0 α,α ולכן = 0 (α 335 אי שוויון קושי שוורץ 3052007 משפט 34 (אי-שוויון קושי-שוורץ: α β, α β ושוויון מתקיים אם"ם α ו- β תלויים 12 γ = β α 0,α 0 = α β α הוכחה נניח 0 α נגדיר וקטורים α ( 2 γ α 0 = γ β α לכן מספיק להראות α α = β α 2 α (γ α :(γ α 2 0 = 0 (כלומר, γ α 0 ש- 0 = α γ ואכן, γ α = (β β α α 2 α α = β α β α α 2 α α = β α β α α 2 α 2 = β α β α = 0 γ 2 = γ γ = γ (β α 0 = γ β γ α 0 = γ β = (β α 0 β = β β α 0 β = β 2 β α α 2 α β 0 β 2 β α α 2 α β 0 כלומר, 0 γ 2 = β 2 β α כלומר, קיבלנו α 2 α β α β α β = α β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α β 2 0 12 כלומר, אם"ם אחד מהם הוא כפולה של חברו במספר מרוכב, אם F, = C או ממשי, אם F = R 25
34 מערכות אורתונורמליות 3 מרחבי מכפלה פנימית אם α ו- β תלויים, או = 0 α וברור שיש שוויון, או z (C β = zα באגף שמאל, α zα = z α 2 באגף ימין, α β = α zα = zα α = z α α = z α 2 לכן יש שוויון מצד שני, נניח שיש שוויון; אם = 0 α, ברור שיש תלות אחרת, = 0 γ (כי = 0 2 γ ; β = α 0 = β α לכן β כפולה של,α ואכן יש תלות כלומר, = 0 0,β α ו- α α 2 336 אי שוויון המשולש משפט 35 (אי-שוויון המשולש: β, α + β α + ושוויון מתקיים אם"ם אחד מ- α, β הוא כפולה של האחר בסקאלאר ממשי אי-שלילי הוכחה β 2 α + β 2 = α 2 + 2 Re(α β + β 2 α 2 + 2 α β + <,0 מכיוון ש- z ;Re(z מאי-שוויון קושי-שוורץ, נקבל β 2 ; α + β 2 α 2 + 2 α β + כלומר, β 2 α + β 2 ( α + לכן β α + β α + אם,α = 0 = 0β שני האגפים הם, β ולכן שווים אחרת, אם 0,α אז β = aα כאשר 0,a ואז = a α α + β = α + aα = (1 + aα = 1 + a α = (1 + α + a α = α + a α = α + β מצד שני, אם קיים שוויון, β 2 α 2 + 2 Re(α β + β 2 = α 2 + 2 α β + לכן β Re(α β = α כלומר, α β מספר ממשי אי-שלילי, ומכאן גם β α מספר ממשי λ = β α אז β = λα (הוכחה α 2 אי-שלילי; אם = 0,α אז α = 0β וסיימנו אחרת, נסמן 0 הכתרגיל מסקנה :36 β α + β α הוכחה נסתכל בשני הווקטורים α + β ו- β מכיוון ש-( β α, = α + β + נקבל מאי-שוויון המשולש β α α + β + β = α + β + כלומר, β α β α + באותו אופן, α α + β = β + α β 34 מערכות אורתונורמליות הגדרה במרחב מכפלה פנימית V, קבוצת וקטורים A תיקרא אורתונורמלית אם לכל β α, שונים קבוצה אורתונורמלית ב- A, α α = 1,α β = 0 דוגמה R n או C n עם המכפלה הרגילה: 1, 0, (0, = n ε 1 = (1, 0,, 0,, ε טענה 37: יהי V מרחב מכפלה פנימית n -מימדי מעל F אז כל מערכת אורתונורמלית ב- V היא בלתי-תלויה הוכחה תהי A מערכת אורתונורמלית, ויהיו α 1,, α k וקטורים שונים ב- A נראה שהם בלתי-תלויים: נניח ש- 0 = k,a 1 α 1 + + a k α ונראה ש- 0 = k a 1 = = a את שני אגפי 26
3 מרחבי מכפלה פנימית 35 אי שוויון בסל השוויון נכפול מימין ב- :α 1 נקבל = 0 1 (a 1 α 1 + + a k α k α 1 = a 1 = 0 α 13 לכל i k,1 נכפול את שני האגפים מימין ב-,α i ונקבל = 0 i a לכן הם בלתי-תלויים בסיס אורתונורמלי מסקנה 38: במרחב מכפלה פנימית n -מימדי, בקבוצה אורתונורמלית יש n וקטורים לכל היותר אם יש n וקטורים, קבוצה זו היא בסיס, שנקרא בסיס אורתונורמלי דוגמה 5 ( 4 5, 3, 5 ( 3 5, 4 בסיס אורתונורמלי של,R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה 462007 טענה :39 יהי n B = (ε 1,, ε בסיס אורתונורמלי של,V ויהי וקטור α V אז מתקיים a i = α ε i,1 i n כך שלכל α = a 1 ε 1 + + a n ε n הוכחה נכפול את שני האגפים מימין ב- :ε i נקבל α ε i = a 1 ε 1 ε i + + a n ε n ε i = a i טענה :40 אם ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית ו-,α = a 1 ε 1 + + a k ε k אז מתקיים α 2 = a 1 2 + + a k 2 = α ε 1 2 + + α ε k 2 הוכחה 2 k α 2 = α α = (a 1 ε 1 + +a k ε k (a 1 ε 1 + +a k ε k = a 1 2 + + a 14 35 אי שוויון בסל k משפט 41 (אי-שוויון בסל: א אם ε 1,, ε k מע א"נ, α וקטור, α 2 i=1 α ε i 2 ב אם ε 1,, ε k בסיס, יש שוויון הוכחה ראשית, אם מערכת זו היא בסיס, α הוא צירוף לינארי שלהם, והשוויון (סעיף ב נובע מהטענה הקודמת γ = α k אז (א γ ניצב לכל ;ε i (ב γ ניצב לכל וקטור שנפרש למה :141 i i=1 (α ε iε γ 2 = α 2 k על-ידי ;ε 1,, ε k (ג i 2 i=1 α ε γ ε 1 = α ε 1 k באופן דומה הוכחה (א = 0 1 i=1 (α ε iε i ε 1 = α ε 1 α ε מוכיחים עבור ε 2,, ε k (ב יהי δ וקטור הנפרש על-ידי ε 1,, ε k אז δ = a 1 ε 1 + + a k ε k לפי חלק א, נקבל = 0 k γ δ = a 1 γ ε 1 + + a k γ ε γ = α β אז ;β = k (ג יהי i=1 (α ε iε i γ 2 = γ γ = γ (α β = γ α γ β אבל מחלק ב,,γ β ולכן β α = וכן,α α = נקבל α 2 γ 2 = γ α = (α β α = α α β α k i=1 (α ε iε i α = k i=1 (α ε i(ε i α = k i=1 (α ε i(α ε i = k i=1 α ε i 2 γ 2 = α α β α = α 2 k לכן, כנדרש, i 2 i=1 α ε k i=1 α ε i 2 לכן α 2,0 γ 2 = α 2 k i=1 α ε i 2 (a 1 α 1 + + a k α k α 1 = a 1 α 1 α 1 + + a k α k α 1 = a 1 1 + a 2 0 + + a k 0 = a 1 13 a 1 ε 1 a 1 ε 1 = a 1 a 1 ε 1 ε 1 = a 1 14 27
36 אורתוגונליזציית גראם שמידט 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה תהי ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית, ויהי α V ההטלה של α על תת-המרחב הטלה k הנפרש על-ידי ε 1,, ε k הוא הווקטור i=1 (α ε iε i γ = α k אם α בתת-המרחב הנפרש, אז בטענת העזר, דיברנו על הווקטור i=1 (α ε iε i = 0 γ; בכל מקרה, γ הוא הווקטור הקצר ביותר מבין הווקטורים המחברים את α עם וקטורים ב-{ span{ε 1,, ε k k הוא i=1 (α ε iε i פירושו של דבר ש- k האורך של γ הוא המרחק מ- α אל i=1 (α ε iε i הווקטור הקרוב ביותר ל- α ב-{ span{ε 1,, ε k (ההוכחה כתרגיל 36 אורתוגונליזציית גראם שמידט משפט 42: יהיו α 1,, α k וקטורים בת"ל במרחב מכפלה פנימית קיימת מערכת אורתונורמלית span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל ε 1,, ε k 662007 הוכחה באינדוקציה על k: (ε 1 ו-(,span ε 1 = span α 1 כמובן, ε 1 = α1 אם = 1,k יש לנו רק 0 1 ;α נבחר 1 α סדרה אורתונורמלית נניח נכונות ל- k 1 ונוכיח ל- k נסתכל ב-( α 1,, α k לפי הנחת האינדוקציה, יש סדרה א"נ span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל 1 (ε 1,, ε k 1 1 i k לכל 1 ε k ε i לפי טענת-עזר קודמת, ε k = α k l נסמן i=1 (α k ε i ε i k 1,α k = ולכן כלומר, = 0 i ε k ε אך 0 k,ε כי אילו = 0 k,ε היינו מקבלים i=1 (α k ε i ε i ε k = ε k תלוי לינארית ב- k 1,α 1,, α בסתירה נוכל להגדיר k ε הסדרה k (ε 1,, ε היא סדרה כדרוש: ראשית, לכל ; ε i = 1,1 i k שנית, קל לראות שלכל ε i ε j = 0 i j בנוסף, מהנחת האינדוקציה, לכל l < k 1 מתקיים } l span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α צריך כעת להוכיח עבור :l = k נשים לב שמתקיים } k ε k span{ε 1,, ε k 1, α k } = span{α 1,, α אז מתקיימת ההכלה (של פרישת קבוצות בת"ל } k span{ε 1,, ε k } span{α 1,, α שתי הפרישות בעלות מימד,k לכן שוות משפט :43 אם n (α 1,, α בסיס של,V ניתן לבנות ממנו בסיס א"נ n (ε 1,, ε כך שלכל span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k מסקנה 44: אם V מרחב מ"פ בעל מימד סופי, כל סדרה א"נ ניתנת להשלמה לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- ε 1,, ε k היא סדרה אורתונורמלית אם k, = n סיימנו, כי זה כבר בסיס א"נ אחרת, ;k < n נשלים את הסדרה לבסיס n (ε 1,, ε k, α k+1,, α על סדרה זו נפעיל את תהליך גראם-שמידט ב- k המקומות הראשונים, לא ישתנו הווקטורים (ההוכחה כתרגיל 15 15 למשל, ε 2 = ε 2 (ε 2 ε 1 ε 1 = ε 2 0 28
3 מרחבי מכפלה פנימית 37 שוויון פרסבל נקבל סדרה אורתונורמלית n,(ε 1,, ε k, ε k+1,, ε וזה בסיס ש- k הווקטורים הראשונים בו הם איברי הסדרה המקורית, לפי סדרם k משפט (אי-שוויון בסל אם k (ε 1,, ε סדרה א"נ, לכל i=1 α ε i 2 α 2 α הוכחה נשלים את k (ε 1,, ε לבסיס א"נ n (ε 1,, ε k, ε k+1,, ε למדנו שבמקרה זה ; α 2 = n מכאן נובעת הטענה i=1 α ε i 2 37 שוויון פרסבל טענה :45 יהי k (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V כך ש-,α = a 1 ε 1 + + a n ε n α β = n i=1 a ib i אז β = b 1 ε 1 + + b n ε n α β = (a 1 ε 1 + + a n ε n (b 1 ε 1 + + b n ε n הוכחה נחשב: = a 1 b 1 ε 1 ε 1 + a 1 b 2 ε 1 ε 2 + + a n b n ε n ε n = a 1 b 1 + + a n b n (מכיוון ש- ij (ε i ε j = δ משפט 46 (שוויון פרסבל: יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V אז = β α n i=1 (α ε i(ε i β הוכחה אם,β = b 1 ε 1 + + b n ε n,α = a 1 ε 1 + + a n ε n מטענה קודמת,a i = α ε i α β = n a i b i = i=1 n (α ε i (β ε i = i=1 ;b i = β ε i לפי הטענה הקודמת, n (α ε i (ε i β i=1 כנדרש 38 תת מרחב ניצב כרגיל, V מרחב מכפלה פנימית מעל F תהי A V קבוצת וקטורים הניצב של A הוא A = {α V : β A α β} דוגמה אם = A או {0} =,A אז A = V אם,A = V אז {0} = A טענה 47: לכל A A, הוא תת-מרחב של V הוכחה ראשית, A,0 לכן A איננו ריק; נבדוק סגירות אם A,β A,α 1, α 2 אז = 0 β (α 1 + α 2 β = α 1 β + α 2 הוכחת הסגירות לכפל בסקאלאר דומה על-פי הטענה, נוכל להגדיר כך 29
39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה עבור,A V תת-המרחב הניצב של A הוא β} A = {α V : β A α תת-מרחב ניצב דוגמה נסתכל במטריצה M מעל R תהי A קבוצת השורות של המטריצה A הוא מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות = 0 Mx בדרך-כלל נדבר על תת-מרחבים U ועל תת-המרחב הניצב להם, U טענה :48 א (U U ב {0} = U U הוכחה א יהי α U,β U לכן = 0 α,β ולכן = 0 0 = β ;α זה נכון לכל β U לכן,α U ב נניח ש- U α U אז = 0 α,α לכן = 0 α (יש לשים לב שטענה זו אינה דורשת ש- U תת-מרחב משפט :49 נניח ש- V בעל מימד סופי אם U תת-מרחב של,V אז U V = U + 16,β = r ויהי הוכחה יהי r (ε 1,, ε בסיס א"נ של U יהי נתון α V נסמן i=1 (α ε iε i γ β ובפרט,γ U לכן U לכן הוא ניצב לכל איבר של,ε i לכל ניצב למדנו ש- γ γ = α β קיבלנו ש- γ α = β + כלומר, כל וקטור ב- V שווה לווקטור ב- U ועוד וקטור ב- U; לכן U V = U + אבל {0} = U,U לכן הסכום הוא סכום ישר משפט 50: אם V בעל מימד סופי ו- U תת-מרחב של V, אז U = U הוכחה כידוע, U U U תת-מרחב, לכן U ;V = U מכיוון שגם U תת-מרחב, U V = U קיבלנו U,dim V = dim U + dim U = dim U + dim לכן U = U לכן,U ויש לו אותו מימד כמו ל- U תת-מרחב של U dim U = dim U 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 391 תבניות בילינאריות 1162007 הגדרה יהי V מרחב מכפלה פנימיתמעל F, ותהי T : V V טרנספורמציה לינארית לכל,α β V נסתכל בסקאלאר β T,α לפונקציה זו נקרא התבנית הבילינארית המוגדרת על-ידי תבנית בילינארית T טענה :51 נניח שלכל α, β V מתקיים = 0 β T α, אזי = 0 T הוכחה יהי α וקטור ב- V לכל β V מתקיים = 0 β T α, כלומר, T α ניצב לכל וקטור ב-,V ולכן = 0 α T זה נכון לכל,α ולכן = 0 T דוגמה נניח שלכל α מתקיים = 0 α T α, לא נובע, במצב זה, = 0 :T למשל, V = R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה, T סיבוב ב- 90 T ט"ל והיא אינה טרנספורמציית האפס, אבל לכל T α, α = 0 α V 16 למעשה, U V = U 30
3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה :52 לכל,α, α, β, β V,a, b F מתקיים א β T (α + α, β = T α, β + T α, ב β T α, β + β = T α, β + T α, ג β T aα, β = a T α, ד β T α, bβ = b T α, טענה :53 אם V T, S hom(v, ולכל, T α, β = Sα, β α, β V אז T = S הוכחה לכל,α, β V T α, β = Sα, β T α Sα, β = (T Sα, β = 0 לכן, לפי טענה קודמת, = 0 S,T ולכן T = S פונקציונל לינארי מטענה 52 נובע שבהינתן β, ההעתקה β α T,α היא העתקה לינארית מ- V ל- F; העתקה כזו נקראת בשם פונקציונל לינארי טענה 54: יהי V בעל מימד סופי, ויהי ϕ פונקציונל לינארי על V אז קיים וקטור יחיד β V שמקיים שלכל α ב- ϕ(α = α, β V יתר על כן, לכל β ההעתקה β α,α היא פונקציונל לינארי (חלק זה נובע מיידית מתכונות המכפלה הפנימית הוכחה לכל,β V נסתכל בפונקציונל הלינארי ϕ β המוגדר ע"י β ϕ β (α = α, קל לראות ש- ϕ bβ = bϕ β,ϕ β+β = ϕ β + ϕ β הפונקציונלים מהצורה ϕ β הם תת-מרחב של מרחב הפונקציונלים F V; = hom(v, מימדו הוא כמימד dim V = dim hom(v, F = dim V dim F = dim V 1 = dim V :V מימד מרחב הפונקציונלים מהצורה ϕ β הוא כמימד,V מכיוון ש-,β = a 1 β 1 + + a n β n (β 1,, β n ϕ β = a 1 ϕ β1 + + a n ϕ βn בסיס של,V אז הם בלתי-תלויים, ו- β, ϕ תלויים בהם; לכן ϕ β1,, ϕ βn בת"ל, וכל ϕ β תלוי בהם לכן זה בסיס קיבלנו תת-מרחב שמימדו כמימד המרחב בו הוא מוכל, לכן הם מתלכדים; כלומר, כל פונקציונל לינארי הוא מהצורה ϕ β 17 איך יודעים ש- β יחיד? אם β 1 ו- β 2 נותנים אותו פונקציונל לינארי, לכל α מתקיים β 1 = β 2 ו- β 1 β 2 ולכן = 0, α, β 1 β 2 = 0,α לכן לכל α, β 1 = α, β 2 משפט 55: נניח ש- V מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי אז לכל ט"ל T : V V קיימת ט"ל יחידה T כך שלכל α, β V מתקיים β T α, β = α, T הוכחה היחידות קלה: אם T, T שתיהן מקיימות את האמור לעיל, אז לכל α ו- β מתקיים β α, T β = T α, β = α, T לכן = 0 β α, (T T אם נקבע את,β נקבל שלכל 17 נשים לב שהסתמכנו כאן על סופיות המימד 31
39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית α מתקיים = 0 β α, (T T לכן = 0 β (T T מכיוון שזה נכון לכל,β נקבל T = T כלומר, T T = 0 נותר להראות קיום נגדיר את T β לכל β בהינתן β, V נסתכל בפונקציונל הלינארי ψ β המוגדר על-ידי β ψ β (α = T α, מהטענה הקודמת, קיים וקטור יחיד β כך שלכל ψ β (α = α α, T β = T α, β ואז,T β = β אז נגדיר α, β = T α, β נקבל,ψ מהגדרת α, β נותר להוכיח כי T לינארית כלומר, צריך להוכיח שמתקיים,T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 T (bβ 1 = bt β 1 למה :155 T T = הוכחה β T α, β = α, T β = T β, α = β, T α = T α, לכל α, β V α, T (β 1 + β 2 = T α, β 1 + β 2 = T α, β 1 + T α, β 2 = α, T β 1 + α, T β 2 = α, T β 1 + T β 2 מאחר שזה נכון לכל,α נקבל T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 באופן דומה מוכיחים עבור כפל בסקאלאר בעקבות המשפט, נוכל להגדיר הגדרה לכל טרנספורמציה לינארית T, הטרנספורמציה T תיקרא הטרנספורמציה הצמודה הטרנספורמציה הצמודה ל- T משפט 56: יהי V מ"ו נוצר-סופית מעל F, ותהי T : V V ט"ל תהי T הט"ל הצמודה ל- T יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ותהיינה ij A = (a ij,a = (a המטריצות של T ו- T לפי בסיס זה, בהתאמה אז a ij = a ji הוכחה a ij היא הקואורדינטה ה- i בפיתוח של הווקטור T ε j כצירוף לינארי של n (ε 1,, ε לכן i a ij = T ε j, ε באותו אופן, i a ij = T ε j, ε אבל a ij = T ε j, ε i = ε j, T ε i = T ε i, ε j = a ji כנדרש נשים לב שאם ;A = A t,f = R אם A = A t,f = C טענה :57 אם V ממ"פ מעל C ולכל α V מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T 1362007 הוכחה נניח שלכל, T α, α = 0 α ונוכיח שלכל T α, β = 0 α, β T מכאן ינבע ש- 0 = T 0 = T (α + β, α + β = T α + T β, α + β = T α, α + T α, β + T β, α + T β, β = T α, β + T β, α = 0 32
3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית במקביל: 0 = T (α + iβ, α + iβ = T α + it β, α + iβ = T α, α + T α, iβ + it β, α + it β, iβ = T α, iβ + it β, α = 0 = T α, β T β, α = 0 נחבר את המשוואות ונקבל = 0 β T α, משפט :58 אם V,a F,T, S hom(v, S (T + S = T + א at (at = ב T (T S = S ג ד (T = T T T העתקה חח"ע מ-( hom(v, V על V hom(v, ה א לכל (T + Sα, β = α, (T + S β,α, β V במקביל, הוכחה T α + Sα, β = T α, β + Sα, β = α, T β + α, S β = α, T β + S β כלומר, לכל, α, (T + S β = α, T β + S β α ולכן לכל β מתקיים, כנדרש, (T + S β = (T + S β ב יהיו α, β V אז β at α, β = α, (at מצד שני, = β at α, β = a T α, (at = at לכן,α, β V זה נכון לכל a α, T β = α, at β ג יהיו α, β V אז β T Sα, β = α, (T S במקביל, = β T Sα, β = T (Sα, α, (T S β = α, S T β לכן בסך-הכל Sα, T β = α, S (T β ד הוכח כבר ה חח"ע אם S T = אז (S,(T = ולפי ד, ;T = S לכן זו העתקה חח"ע בנוסף, זוהי העתקה על: תהי V T hom(v, אז (T T = כלומר, לכל T יש מקור 392 טרנספורמציות צמודות לעצמן טרנספורמציה צמודה לעצמה הגדרה T תיקרא צמודה לעצמה אם T T = (לכל ( T α, β = α, T β α, β V טרנספורמציה סימטרית טרנספורמציה הרמיטית ט"ל צמודה לעצמה מעל R נקראת טרנספורמציה סימטרית ט"ל צמודה לעצמה מעל C נקראת טרנספורמציה הרמיטית דוגמה הט"ל הצמודה ל- 0 היא 0; הט"ל הצמודה ל- I היא I לכן אלה ט"ל צמודות לעצמן 33
39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית אם נעבור למטריצות ונניח שהבסיס הנבחר הוא אורתונורמלי, אם T צמודה לעצמה והמטריצה שלה לפי בסיס זה היא,A אז A A = כלומר, אם ij,a = (a אז לכל a ji = a ij i, j אם,F = R המטריצה סימטרית ij (a ji = a כלומר, T סימטרית אם"ם A סימטרית אם T,F = C הרמיטית אם"ם לכל,a ij = a ji i, j ומטריצה כזו תכונה מטריצה הרמיטית נשים T T i לב שבמטריצה הרמיטית כל איברי האלכסון חייבים להיות ממשיים טענה :59 כל ט"ל T היא מהצורה T 1 + it 2 כאשר T 1 ו- T 2 הרמיטיות C (F = הוכחה T T + היא הרמיטית: T (T + T = T + T = T + T T אינה בהכרח הרמיטית: T (T T = T T = (T אבל ( T T = T T הרמיטית: ;T 2 = T T 2i i i i 2 = T +T = T T i,t 1 = T +T 2 T = T +T +i( T T נסמן 2 + i T T 2i כעת: שתיהן הרמיטיות, ו- T = T 1 + it 2 טענה :60 אם T צמודה לעצמה ולכל α מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T הוכחה ב- C, זה נכון תמיד; נוכיח לגבי R נראה שלכל T α, β = 0 α, β V לכל T (α + β, α + β = 0 = T α, β + T β, α = 0,α, β לכן + β T α, = 0 α β, T α = T α, β + β, T המכפלה הסקאלארית סימטרית מעל,R ולכן נקבל = 0 β T α, β + T α, מכאן, = 0 β, T α, כנדרש משפט :61 יהי V מרחב אוניטרי 18 ו- T ט"ל T הרמיטית אם"ם לכל T α, α R α V הוכחה אם T צמודה לעצמה,,α V נקבל α T α, α = α, T α = α, T α = T α, המספר שווה לצמוד לו, לכן הוא ממשי כעת נניח שלכל T α, α α V ממשי מכיוון שכך, = 0 α ; T α, α T α, נקבל (T T α, α = T α, α T α, α = T α, α α, T α = T α, α T α, α = 0 לכן לכל, (T T α, α = 0 α ומטענה קודמת = 0 T T כלומר, T T = 393 טרנספורמציות אנטי סימטריות ואנטי הרמיטיות 1862007 הגדרה T נקראת אנטי-סימטרית (מעל R או אנטי-הרמיטית (מעל C אם T = T טרנספורמציה אנטי-סימטרית/הרמ המטריצה של טרנספורמציה אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית היא אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית, בהתאמה ( ( היא מטריצה אנטי-הרמיטית 0 3+4i 0 1 היא מטריצה אנטי-סימטרית; 4i 3 0 דוגמה 1 0 18 כזכור, הכוונה לממ"פ מעל C 34
3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה 62: במטריצה אנטי-סימטרית יש באלכסון רק אפסים 394 טרנספורמציות אורתוגונליות ואוניטריות רנספורמציה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה T נקראת אוניטרית אם היא שומרת על המכפלה הפנימית ( β T,α T β =,α טרנספורמציה אוניטרית מעל R נקראת אורתוגונלית T אוניטרית אם"ם היא שומרת על הנורמה (אורך של וקטורים משפט 63: התנאים הבאים שקולים: א T אוניטרית; ב T T = T T = I (כלומר, T ;(T 1 = ג T מעבירה כל בסיס א"נ לבסיס א"נ; ד T מעבירה בסיס א"נ כלשהו לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- T אוניטרית אז לכל T α, T α = α, α α לכן = α T α, T α = α, T T α α, מכאן, = 0 α, α, T T α α, לכן = 0 Iα α, (T T זה נכון לכל α מכיוון ש- I T T צמודה לעצמה, לפי טענה קודמת = 0 I,T T ולכן T T T = I ט"ל ממרחב סוף-מימדי לעצמו, לכן נובע ש- T הפיכה ו- 1 T T = לכן גם,T T = I נניח שב נכון אז T T = T T = I יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ, ונוכיח ש-( (T ε 1,, T ε n גם הוא בסיס א"נ T ε i, T ε j = ε i, T T ε j = ε i, Iε j = ε i, ε j = δ ij לכן התמונה היא בסיס א"נ באופן טריוויאלי, ג גורר את ד נראה שד גורר את א וסיימנו יהי n ε 1,, ε בסיס א"נ אשר T מעבירה לבסיס א"נ נראה שלכל T α, T β = α, β α, β,β = b 1 ε 1 + + b n ε n T α = a 1 T ε 1 + + a n T ε n אז,α = a 1 ε 1 + + a n ε n אז T β = b 1 T ε 1 + + b n T ε n על-פי טענה קודמת, α, β = a 1 b 1 + + a n b n מכיוון שגם n (T ε 1,, T ε בסיס א"נ, גם T α, T β = a 1 b 1 + + a n b n לכן מתקיים השוויון מטריצה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה מטריצה ריבועית מעל C (מעל R נקראת אוניטרית (אורתוגונלית אם A A = I תנאי זה שקול לכך ש- I,AA = לכן מקבלים שכל מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית היא הפיכה מסקנה 64: אם A מייצגת את T ביחס לבסיס א"נ מסויים, אז T אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם A אוניטרית (אורתוגונלית מסקנה 65: A מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם קיים ממ"פ V מעל F כך ש- A מטריצת המעבר בין בסיסים א"נ מסקנה 66: A אוניטרית אם"ם שורותיה הן בסיס א"נ של F n עם המ"פ הסטנדרטית וכן אם"ם עמודותיה בסיס א"נ ל- F n 35